"Power UP" - повышение силы, если дословно переводить с английского языка на русский. Это может говорить о различных усилениях, либо повышениях мощности Вашего покемона. Это происходит при определенных условиях, когда Ваш подопечный достиг определенного максимума развития и пробивает его новым повышением максимума.
Так же это значит, что Вы могли обрести новый уровень своего развития, как тренер покемонов. Ваши возможности так же усиливаются и открываются новые возможности с каждым уровнем, в буквальном смысле, Ваша сила стала повышена на определенное количество единиц.